Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）记椭圆的上,下顶点分别为A,B，设过点的直线与椭圆分别交于点，求证：直线必定过一定点，并求该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由及通径解方程组求出的值即可；（Ⅱ）直线方程为:

，直线方程为：，即．分别与椭圆联立方程组，由韦达定理可解得：,求出直线的方程化简即可.

试题解析：（Ⅰ）由可得，

因过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为，，

所以，椭圆方程为

（Ⅱ）点的坐标为

直线方程为:，直线方程为：，即．

分别与椭圆联立方程组，可得：

和，

由韦达定理可解得：

．

如果考虑消去，得到：及

进一步亦可得到

直线的斜率，则直线方程为：，化简可得直线的方程为，

恒过定点．

所以直线必过轴上的一定点．1