Question

【题目】平面上的两个向量，满足，，且，.向量，且.

（1）如果点为线段的中点，求证: ；

（2）求的最大值，并求此时四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），．

【解析】

试题分析：（1）由因为点为线段的中点，所以，连同已知代入即可证明；（2）设点为线段的中点，则由，知，又由（1）及题设条件得，从而可判断、、、四点都在以为圆心、为半径的圆上，已知为圆的直径，得到，再利用基本不等式，即可求解四边形面积的最大值.

试题解析：（1）证明：因为点为线段的中点，

所以.

所以.

（2）解：设点为线段的中点，

则由，知.

又由（1）及，得

所以.

故、、、四点都在以为圆心、为半径的圆上，

所以当且仅当为圆的直径时，.

这时四边形为矩形，

则，

当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为.