题目内容
已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；
（Ⅱ）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项公式．
分析：（Ⅰ）把点（an，an+1）代入函数f（x）的解析式，可得到an+1与an关系式两边取对数化简可得
=2.进而可证明数列{lg（1+an）}为等比数列．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{lg（1+an）}为等比数列，可求得数列lg（1+an）}的通项公式，进而可求数列{an}的通项公式．根据{an}的通项公式代入Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），进而求得Tn
| lg(an+1+1) |
| lg(an+1) |
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{lg（1+an）}为等比数列，可求得数列lg（1+an）}的通项公式，进而可求数列{an}的通项公式．根据{an}的通项公式代入Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），进而求得Tn
解答：（Ⅰ）证明：由已知，得an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2．
∵a1=2，∴an+1＞1．
两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
即
=2.
数列{lg（1+an）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
lg(an+1)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an+1=32n-1，
∴an=32n-1-1．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）
=3×321×322××32n-1
=31+2+22++2n-1=32n-1．
∴an+1+1=（an+1）2．
∵a1=2，∴an+1＞1．
两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
即
| lg(an+1+1) |
| lg(an+1) |
数列{lg（1+an）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
lg(an+1)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an+1=32n-1，
∴an=32n-1-1．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）
=3×321×322××32n-1
=31+2+22++2n-1=32n-1．
点评：本题主要考查了数列等比关系的确定．确定的关键是每一项与它的前一项的比等于同一个常数．
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