Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于.

（1）求直线和平面所成角的正弦值；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.

【解析】分析：（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.利用空间向量法能求出直线和平面所成角的正弦值.

（2）先假设棱上存在一点，求出平面与平面的法向量，进而求得二面角的余弦值，结合其正切值为，求出E点的位置.

详解：解：（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.

易知是等腰直角三角形，∴.

设，则，，，，.

则，，

∵异面直线和所成角等于，

∴，即，解得，

∵，.

设平面的一个法向量为，

则由，得，所以可取，

∴.

∴直线和平面所成角的正弦值为.

（2）假设存在，设，且，则，

，设平面的一个法向量为，

则由，得，

取，又有平面的法向量，

由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，

由，得，

解得或（不合题意）.

∴存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.