Question

【题目】如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．

（1）求证：；

（2）若圆柱的体积，

①求三棱锥A1﹣APB的体积．

②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析

【解析】

（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．

（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，

平面 又，

平面，又平面，故．

（2）①由题意，解得，

由，得，，

∴三棱锥的体积．

②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．

证明：∵O、M分别为的中点，则，

就是异面直线OM与所成的角，

又，

在中，．

∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．