Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC中点，以A为原点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题
（1）证明：直线BD⊥OC
（2）证明：直线MN∥平面OCD
（3）求异面直线AB与OC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：以A为原点，以AO，AB，AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．
（1）要证明BD⊥OC，只要证明

BD

•

OC

=0即可；
（2）设平面OCD的法向量为

n

=(x，y，z)，可得

n • OC =x+y-2z=0 n • CD =-x=0

，求出法向量

n

，只要证明

n

•

MN

=0即可；
（3）利用cos＜

AB

，

OC

＞=

AB • OC

| AB | | OC |

即可得出．

解答：解：以A为原点，以AO，AB，AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．
则B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N(1，

1

2

，0)．
（1）∵

BD

=(-1，1，0)，

OC

=(1，1，-2)，

BD

•

OC

=-1+1+0=0，
∴

BD

⊥

OC

，∴BD⊥OC；
（2）

CD

=(-1，0，0)，设平面OCD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • OC =x+y-2z=0 n • CD =-x=0

，
令y=2，则x=0，z=1，∴

n

=(0，2，1)，
又

MN

=(1，

1

2

，-1)，∴

n

•

MN

=2×

1

2

-1×1=0，
而MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD．
（3）

AB

=(1，0，0)，∴cos＜

AB

，

OC

＞=

AB • OC

| AB | | OC |

=

1

1× 1+1+(-2)2

=

6

6

，
∴异面直线AB与OC所成角的余弦值为

6

6

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求证垂直、线面平行及求出异面直线所成的角等是解题的关键．