题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的极值点；
（2）当m≤1时，曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线l与C有且只有一个公共点，求实数m的范围．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （x＞-1）
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴x∈（-1，- $\text{[math]}$ ）时，f′（x）＞0；x∈（- $\text{[math]}$ ，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的极值点是x=- $\text{[math]}$ ；
（2）f′（x）=mx-2+ $\text{[math]}$ ，∴f′（0）=-1，∴切线L：y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点，∴ $\text{[math]}$ mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解，显然x=0时成立．
令g（x）= $\text{[math]}$ mx²-x+ln（x+1），则g′（x）= $\text{[math]}$
①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；
②当m＜1时，由g′（x）=0得x₁=0，x₂= $\text{[math]}$ -1∈（-∞，-1）∪（0，+∞），从而有x=x₂是极值点，因此g（x）=0还有一个不是0的解，矛盾
综上知，m=1．
分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值点；
（2）先求切线方程为y=-x+1，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为 $\text{[math]}$ mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．
点评：本题主要考查导数的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．