Question

已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积为（　　）

• A．

  8

  3

  cm²
• B．（6+2

  2

  +2

  5

  ）cm²
• C．8cm²
• D．（2+2

  2

  +2

  5

  ）cm²

Answer 1

分析：根据三视图，得到该几何体的直观图为四棱锥，然后根据三视图得到棱锥对应的边长关系和各个面的形状，然后求该几何体的各个面的面积，再把它们相加求出表面积．

解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
且一个侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊥CD，且O是CD的中点，
如图所示：
其中△PCD是一个高为2，底面边长CD为2的等腰三角形，
它的面积为S₁=

1

2

×2×2=2，
∵BC⊥CD，侧面PBC⊥底面ABCD，且CD是两个平面的交线，
∴BC⊥平面PCD，则BC⊥PC，同理可得AD⊥PD，
∴面PAD和PBC是两个全等的直角三角形，
且直角边长分别为2和

12+22

=

5

，
则它们的面积和为S₂=2×

1

2

×2×

5

=2

5

，
底面ABCD是边长为2的正方形，它的面积为S₃=2×2=4；
侧面PAB是一个底面边长为2，高为

22+22

=2

2

，
它的面积为S₄=

1

2

×2×2

2

=2

2

，
综上得，棱锥的表面积公式得S=S₁+S₂+S₃+S₄=2+2

5

+4+2

2

=（6++2

5

+2

2

）（cm²）
故选B．

点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图还原得到原几何体，判断出几何体各面的形状是解答本题的关键，考查了空间想象能力．