Question

（2008•河西区三模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，又椭圆C与y轴正半轴交于B点，右准线与x轴交于D点，且

FD

=(2，0)，

BF

•

FD

=4，过点D作直线l交椭圆C于不同两点P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l斜率的取值范围；
（3）若在x轴上的点M（m，0），使|

MP

|=|

MQ

|，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得B（0，b），F（c，0），D(

a2

c

，0)．即可表示出

BF

，

FD

，

BF

•

FD

，又a²=b²+c²，即可得出椭圆的方程；
（2）设l的方程为y=k（x-4），与椭圆方程联立，利用△＞0即可得出k的取值范围；
（3）设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀），利用（2）中的根与系数的关系和中点坐标公式可用k表示点R的坐标，
当k=0时，容易得出M；k≠0时，若|

MP

|=|

MQ

|?MR⊥l?k•kMR=-1，再根据（2）k的取值范围即可得出．

解答：解：（1）由题意可得B（0，b），F（c，0），D(

a2

c

，0)．
于是

BF

=(c，-b)，

FD

=(

a2

c

-c，0)=(

b2

c

，0)=(2，0)．
故

b2

c

=2，

BF

•

FD

=b2=4
∴c=2，于是a²=b²+c²=8
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）点D（4，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以l的斜率存在．
故设l的方程为y=k（x-4），由

x2 8 + y2 4 =1 y=k(x-4)

得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，
依题意△=-（64k²-32）＞0k2＜

1

2

∴l的斜率的取值范围为-

2

2

＜k＜

2

2

．
（3）设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点R（x₀，y₀），则x₁+x₂=

16k2

2k2+1

，
x0=

x1+x2

2

=

8k2

2k2+1

，y0=k(x0-4)=k(

8k2

2k2+1

-4)=

-4k

2k2+1

．
当k=0时，P、Q为长轴的两个顶点．
此时M（0，0）满足|

MP

|=|

MQ

|，
k≠0时，若|

MP

|=|

MQ

|?MR⊥l?k•kMR=-1
又kMR=

4k

2k2+1

÷(m-

8k2

2k2+1

)=

4k

(2m-8)k2+m

由k_MR•k=-1，即4k²=-（2m-8）k²-m=（8-2m）k²-m（4-2m）k²=m．
∵0＜k2＜

1

2

，∴m≠2时，k2=

m

4-2m

．
∴0＜

m

4-2m

＜

1

2

．
由

m 4-2m ＞0 m 4-2m ＜ 1 2

解得

0＜m＜2 m＞2或m＜1

∴0＜m＜1综上得0≤m＜1．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系转化为方程联立得到△＞0即根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线之间的关系等是解题的关键．