题目内容
设数列{an}满足an＞0，（n∈N+），其前n项和为Sn，且
（1）求an+1与Sn之间的关系，并求数列{an}的通项公式；
（2）令
，求证：
．
【答案】分析：（1）利用
，可得
，两式相减，即可求得
，再写一式，两式相减，即可证得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）根据
，可得
，从而可证
=
＜
，即可得出结论．
解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
∵
①，
②
②-①
∵an+1＞0，∴
∴
∴
①
当n≥2时，
②
①-②（an-an-1-1）（an+an-1）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n（n∈N*）
（2）∵
∴
∵
，∴
=
＜
∴
点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，考查裂项法求和，考查放缩法的运用．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
，可得，两式相减，即可求得，再写一式，两式相减，即可证得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；（2）根据
，可得，从而可证=＜，即可得出结论．解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
∵
①，②②-①
∵an+1＞0，∴
∴
∴
①当n≥2时，
②①-②（an-an-1-1）（an+an-1）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n（n∈N*）
（2）∵
∴
∵
，∴=＜∴
点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，考查裂项法求和，考查放缩法的运用．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
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)=0若cn=an+
，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2an |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|