Question

20、已知函数f（x）=e^-x，g（x）=x²+mx+m，设h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，先求出h（x）的导数，根据h′（x）＞0求得的区间是单调增区间，h′（x）＜0求得的区间是单调减区间．

解答：解：∵h^/（x）=-e^-x（x²+mx+m）+e^x（2x+m）=-e^-xx[x-（2-m）]．
=1 ①当m＜2时，x变化时，h（x），h^/（x）的变化情况如下表：

∴h（x）的单调递增区间为（0，2-m），单调递减区间为（-∞，0），（2-m，+∞）．
②当m=2时，∵h^/（x）=-e^-xx²＜0，
∴h（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）．
③当m＞2时，x变化时，h（x），h^/（x）的变化情况如下表：

∴h（x）的单调递增区间为（2-m，0），单调递减区间为（-∞，2-m），（0，+∞）．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．属于基础题．