题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析；
（2）
.
【解析】
（1）先求导数
，对a分类讨论后分别解出f′（x）＞0与f′（x）<0的解集，从而得出函数f（x）的单调性．
（2）构造函数g（x）＝（k-1）lnx+x
，x＞1，求导后令导函数的分子为h(x)，研究h（x）的正负得到g(x)的单调性与极值、最值，可得满足条件的k的取值范围；
（1）由题可知
①当
时，此时
恒成立 ，
在
递增 .
②当
时，令
解得
;令
解得
.
在
递减，在
递增.
（2）原不等式等价变形为
恒成立.
令
则
令
①当
时，此时
的对称轴：
在
递增.又
在恒成立.
在恒成立，即
在递增.
.
符合要求.
②当
时，此时
在有一根，设为
当
时，
即
.在
上递减.
.这与
恒成立矛盾.
综合①②可得:.
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