Question

2．甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在[45，75）内为优质品，从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如表：
甲企业：

分组	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
频数	10	40	115	165	120	45	5

乙企业：

分组	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
频数	5	60	110	160	90	70	5

（1）已知甲企业的500件产品质量指标值的样本方差s²=142，该企业生产的零件质量指标值X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为质量指标值的样本平均数$\overline{x}$（注：求$\overline{x}$时，同一组数据用该区间的中点值作代表），σ²近似为样本方差s²，试根据该企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率（精确到0.001）
（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”

	甲厂	乙厂	合计
优质品
非优质品
合计

附注：
参考数据：$\sqrt{142}$≈11.92
参考公式：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9973．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）计算甲企业的平均值，得出甲企业产品的质量指标值X～N（60，142），计算所求的概率值；
（2）根据统计数据填写2×2列联表，计算K²，对照临界值表得出结论．

解答 解：（1）计算甲企业数据的平均值为：
$\overline{x}$=$\frac{1}{500}$×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）=60，
∴μ=60，σ²=142，
且甲企业产品的质量指标值X服从正态分布X～N（60，142），
又σ=$\sqrt{142}$≈11.92，
则P（60-11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，
P（X＞71.92）=$\frac{1-P（48.08＜X＜71.92）}{2}$=$\frac{1-0.6826}{2}$=0.1587≈0.159，
估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率为0.159；
（2）由以上统计数据填写2×2列联表，

	甲厂	乙厂	合计
优质品	400	360	760
非优质品	100	140	240
合计	500	500	1000

计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{1000{×（400×140-100×360）}^{2}}{760×240×500×500}$≈8.772＞6.635，
对照临界值表得出，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件质量有差异”．

点评 本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，是中档题．