Question

【题目】已知函数（且）.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，讨论函数的单调性与单调区间；

（Ⅲ）若有两个极值点、，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（Ⅱ）求得，由，分和两种情况讨论，分析的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（Ⅲ）由题意可知，方程有两正根、，利用韦达定理得出，且，将所证不等式转化为，构造函数，利用导数证明出当时，即可.

由题可知：函数的定义域为

（Ⅰ）因为时，，所以，

那么，，

所以曲线在处的切线方程为：，

即；

（Ⅱ）因为，由可得：

①当，，时，有，，满足，

和时，

即函数在和上为减函数；

时，，即函数在上为增函数；

②当时，，恒成立，所以函数在为减函数.

综上可知：

当时，函数在和上为减函数，

在上为增函数；

当时，函数在上为减函数；

（Ⅲ）因为有两个极值点、，

则有两个正根、，则有，且，，即，

所以

若要，即要，

构造函数，则，易知在上为增函数，

且，，

所以存在使即，

且当时，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数在上有最小值为，

又因为则，所以在上恒成立，

即成立.