Question

4．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）．
（1）试验证函数y=$\frac{x}{150}$+1是否符合函数x模型请说明理由；
（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

分析 （1）判断y=$\frac{x}{150}+1$的单调性，求出函数的最大值与9的大小关系，判断$\frac{x}{150}+1$-$\frac{1}{5}$x≤0在[10，100]上是否恒成立；
（2）令f（x）-$\frac{x}{5}$≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范围，再令f（100）≤9解出a的范围，求出a的范围，从而得出a的最小正整数解．

解答 解：（1）函数y=$\frac{x}{150}$+1是增函数，当x=100时，y=$\frac{2}{3}+1$＜9，
∴奖金y随投资收益x的增加而增加，且奖金不超过9万元，
令g（x）=$\frac{x}{150}+1-\frac{x}{5}$≤0得x≥$\frac{150}{29}$，
∴当10≤x≤100时，奖金不超过投资收益的20%，
综上，函数y=$\frac{x}{150}$+1符合函数x模型．
（2）f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$=10-$\frac{3a+20}{x+2}$，
显然，当a＞0时，f（x）是增函数，
令f（100）=10-$\frac{3a+20}{102}$≤9得a≥$\frac{82}{3}$，
令f（x）-$\frac{1}{5}$x=$\frac{10x-3a}{x+2}$-$\frac{1}{5}x$≤0在[10，100]上恒成立，
得15a≥-x²+48x，
令h（x）=-x²+48x，则h（x）在[10，24]上单调递增，在（24，100]上单调递减，
∴h（x）的最大值为h（24）=576，
∴15a≥576，即a≥$\frac{192}{5}$
综上，a≥$\frac{192}{5}$，
∴最小的正整数a的值为38．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．