Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x），令f′（x）=0，求出方程的根，求解f′（x）＜0和f′（x）＜0，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据题意可知f（x）=2x+m，将f（x）代入整理，令g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5，则有g（x）=m，将问题转化为函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，从而可以求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5，
∴f'（x）=x²-3x+2，
令f'（x）=0，解得x=1或x=2，
∴当x＜1或x＞2时，f'（x）＞0，当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调递增区间为（1，2）；
（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5=2x+m，
∴

1

3

x3-

3

2

x2+5=m，
设g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5，
∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，
∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，
当0＜x＜3时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，
∵g(0)=5，g(3)=

1

2

，画出函数g（x）的大值图象如右图，
∴实数m的取值范围为

1

2

＜m＜5．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．