Question

已知圆C:x²-4x+y²+2y-3=0内有一点P（1,1），AB为过点P且倾斜角为的弦。

（1）当时，求AB的长度；

（2）求弦AB的最小值，并写出此时的直线方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）|AB|=。（2）直线AB的方程为：x-2y+1=0.

【解析】

试题分析：圆C：（x-2）²+(y+1)²=8,圆心C（2，-1），r=2,      2分

（1）当时，直线AB的斜率为-1，故直线AB的方程为：x+y-2=0.

此时圆心C到直线AB的距离为,

故|AB|=。       7分

（2）由图可知CP⊥AB时，弦AB最短，而|CP|=，故|AB|_min=，

此时直线CP的斜率为-2，所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为：x-2y+1=0       13分

考点：本题主要考查直线方程，直线与圆的位置关系。

点评：中档题，求直线方程方程，主要运用待定系数法，也可以就直线方程的某种形式，之间确定“几何元素”。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。涉及直线与圆的位置关系问题，往往利用“特征直角三角形”。