Question

已知sinα，cosα是关于x的二次方程4x²+2mx+m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中sinθ、cosθ是关于x的方程4x²+2mx+m=0的两个实根，我们根据方程存在实根的条件，我们可以求出满足条件的m的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，我们易求出满足条件的m的值；
（2）先由第一问求出的m确定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，变形后与分子约分可得到关于sinα+cosα及sinαcosα的关系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵sinα，cosα是关于x的二次方程4x²+2mx+m=0的两个根，
∴当△=（2m）²-16m≥0，即m≤0，或m≥4时，
有sinα+cosα=-

2m

4

=-

m

2

，sinαcosα=

m

4

，
又sin²α+cos²α=1，即（sinα+cosα）²-2sinαcosα=

m2

4

-

m

2

=1，
化简得：（m-1）²=5，
解得：m=1+

5

（舍去）或m=1-

5

，
则m=1-

5

；（4分）
（2）∵sinα+cosα=-

1- 5

2

，sinαcosα=

1- 5

4

，
∴

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

=

sinα(cos2α-sin2α)

(sin2α+2sinαcosα+cos2α)(1- sinα cosα )

=

sinαcosα(cosα-sinα)(cosα+sinα)

(sinα+cosα)2(cosα-sinα)

=

sinα•cosα

sinα+cosα

=-

1

2

．（5分）

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三角函数中的恒等变换应用，其中本题第一问易忽略方程存在实数根，而错解为m=1±

5

，第二问利用三角函数的恒等变形把所求式子化为关于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解题的关键，同时注意“1”的灵活运用．