Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=t，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，若{a_n}为单调递减数列，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，0）
• C． （0，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，作差a_n+1-a_n=$\frac{（2-{a}_{n}）（2+{a}_{n}）}{2{a}_{n}}$＜0，解得a_n＞2或-2＜a_n＜0，对t分类讨论即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{2}$=$\frac{（2-{a}_{n}）（2+{a}_{n}）}{2{a}_{n}}$＜0，解得a_n＞2或-2＜a_n＜0，
（1）a₁=t∈（-2，0）时，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{2}{{a}_{1}}$＜-2，归纳可得：a_n＜-2（n≥2）．
∴a₂-a₁＜0，但是a_n+1-a_n＞0（n≥2），不合题意，舍去．
（2）a₁=t＞2时，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{2}{{a}_{1}}$＞2，归纳可得：a_n＞2（n≥2）．∴a_n+1-a_n＜0，符合题意．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．