题目内容

已知f（x）=ln (
x2+1
+x)，g（x）=
ex+e-x
2

（1）判断f（x）的奇偶性，并求f-1（x）；
（2）若f-1（x）g（x）=1，求x的值．
（1）f（x）的定义域为R，
f（x）+f（-x）=ln (
x2+1
+x)+ln (
x2+1
-x)=ln1=0，
所以f（x）为奇函数，
由y=ln (
x2+1
+x)得ey=
x2+1
+x，①
由y=ln (
x2+1
+x)得-y=-ln (
x2+1
+x)
即-y=ln (
x2+1
-x)
所以e-y=
x2+1
-x，②
由①②得2x=ey-e-y，
所以f-1（x）=
ex-e-x
2
（x∈R）
（2）f-1（x）g（x）=1等价于方程e2x-e-2x=4
解得e2x=2-
5
（舍）或e2x=2+
5

x=
1
2
ln(2+
5
)
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围；
（II） 若函数f（x）在x=O处取得极小值，求a的取值范围．
如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用这个性质证明x0唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）当n∈N+且n≥2时，求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．
已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定义在[0，2]上的函数
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）≥c对定义域内的x恒成立，求c的取值范围．．

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