题目内容
已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：
•
•
•…•
＜e．
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
分析：（1）由f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，知f′(x)=
-1=
，由此能求出f（x）在定义域上的最大值．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等价于a＞
恒成立，由此能够求出a的取值范围．
（3）要证
•
•
•…•
＜e，只需证ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜1，由此能够得到证明．
| 1 |
| 1+x |
| -x |
| 1+x |
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等价于a＞
| ln(x+1) |
| x |
（3）要证
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
| 1 |
| 12+1 |
| 1 |
| 22+2 |
| 1 |
| n2+n |
解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)=
-1=
，
由f′(x)=
＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=
＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于a＞
恒成立，
设g(x)=
⇒g′(x)=
，
设h(x)=
-ln(x+1)⇒h′(x)=
-
=
＜0(x≥1)，
所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)=
-ln2＜0(4＞e⇒2＞e
)，
所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证
•
•
•…•
＜e，
只需证ln
+ln
+…+ln
＜1
只需证ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜1
因为ln(1+
)＜
=
-
，
所以ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜1-
＜1．
故
•
•
•…•
＜e．
∴f′(x)=
| 1 |
| 1+x |
| -x |
| 1+x |
由f′(x)=
| -x |
| 1+x |
| -x |
| 1+x |
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于a＞
| ln(x+1) |
| x |
设g(x)=
| ln(x+1) |
| x |
| ||
| x2 |
设h(x)=
| x |
| 1+x |
| 1 |
| (1+x)2 |
| 1 |
| 1+x |
| -x |
| (1+x)2 |
所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
只需证ln
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| n2+n+1 |
| n2+2 |
只需证ln(1+
| 1 |
| 12+1 |
| 1 |
| 22+2 |
| 1 |
| n2+n |
因为ln(1+
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
所以ln(1+
| 1 |
| 12+1 |
| 1 |
| 22+2 |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| n+1 |
故
| 12+1+1 |
| 12+1 |
| 22+2+1 |
| 22+2 |
| 32+3+1 |
| 32+3 |
| n2+n+1 |
| n2+n |
点评：本题考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目