Question

5．如果方程x⁶+px⁴+qx²-225=0有6个根，且这6个根成等差数列，则q=$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．

Answer 1

分析 注意x次数均为偶数，故方程的实根必为成对的相反数，设为-c，-b，-a，a，b，c，则由公差为2d，可得a=2d，b=3d，c=5d，所以x⁶+px⁴+qx²-225=（x²-4d²）（x²-9d²）（x²-25d²），可得d⁴=$\frac{\root{3}{4}}{2}$，即可求出q．

解答 解：注意x次数均为偶数，故方程的实根必为成对的相反数，设为-c，-b，-a，a，b，c，
则由公差为2d，可得a=2d，b=3d，c=5d，
所以x⁶+px⁴+qx²-225=（x²-4d²）（x²-9d²）（x²-25d²），
所以4×9×25d⁶=225，
所以d⁴=$\frac{\root{3}{4}}{2}$
所以q=[（-4）×（-9）+（-4）×（-25）+（-9）×（-25）]d⁴=$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．
故答案为：$\frac{361}{2}\root{3}{4}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．