Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足①，②==，③∥
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（，0），已知∥，∥且•=0．求四边形PRQN面积S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，以，分别得到解析式，联立即可求出顶点C的轨迹E的方程．
（2）根据题意设出直线PQ的方程，将之代入（1）的方程中，运用设而不求韦达定理，求出|PQ|，然后根据RN⊥PQ，求出S的解析式．最后即可求出四边形PRQN面积S的最大值和最小值．
解答：解：（1）设C（x，y），
∵，
由①知，
∴G为△ABC的重心，
∴G（，）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x轴上．
由③知M（，0），
由得

化简整理得：（x≠0）
（2）F（，0）恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±，
则直线PQ的方程为y=k（x-）
由
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x₁+x₂=，x₁•x₂=；
则|PQ|=•
=•
=
∵RN⊥PQ，把k换成
得|RN|=
∴S=|PQ|•|RN|
==）
∴∵≥2，
∴≥16，
∴≤S＜2，（当k=±1时取等号）
又当k不存在或k=0时S=2
综上可得≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量与共线向量，向量数量积的运算，以及求点的轨迹方程．通过运用设而不求韦达定理，方便的求出坐标的关系，考查了对知识的综合运用能力，属于中档题．