题目内容
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①
+
+
=
；②|
|=|
|=|
|；③
∥
．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| MA |
| MB |
| MC |
| GM |
| AB |
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．
分析：（1）分别设出点C、G、M的坐标，利用条件|
|=|
|求出M的横坐标，结合
∥
可得G和M的纵坐标相等，然后利用
+
+
=
把G和M的坐标用C的坐标表示，代入|
|=|
|即可得到C的轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积，写出面积后得到关于直线斜率k的表达式，利用换元法降幂，然后利用导数求最值．
| MA |
| MB |
| GM |
| AB |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| MB |
| MC |
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积，写出面积后得到关于直线斜率k的表达式，利用换元法降幂，然后利用导数求最值．
解答：（1）解：设C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM）．
∵|
|=|
|，
∴M点在线段AB的中垂线上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴xM=0．
又∵
∥
，∴yM=y0．又
+
+
=
，
∴（-1-x0，-y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，y-y0）=（0，0）
∴x0=
，y0=
，∴yM=
．
∵|MB|=|MC|，∴
=
，
∴x2+
=1（y≠0），∴顶点C轨迹方程为x2+
=1（y≠0）．
（2）设直线l方程为：y=k（x-3）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），
由
，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0 ①
∴x1+x2=
，x1x2=
．
由方程①知△=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）＞0，
∴k2＜
，∵k≠0，∴0＜k2＜
．
而S△ABC=
×3×|y1-y2|=
×|k|•|x1-x2|=
=
=3
．
令k2=t，则t∈(0，
)，S△ABC=3
．记f(t)=
(0＜t＜
)，
求导后可得当t=
时△OEF面积有最大值为
．
∵|
| MA |
| MB |
∴M点在线段AB的中垂线上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴xM=0．
又∵
| GM |
| AB |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
∴（-1-x0，-y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，y-y0）=（0，0）
∴x0=
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
| y |
| 3 |
∵|MB|=|MC|，∴
(0-1)2+(
|
(0-x)2+(
|
∴x2+
| y2 |
| 3 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l方程为：y=k（x-3）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），
由
|
∴x1+x2=
| 6k2 |
| k2+3 |
| 9k2-3 |
| k2+3 |
由方程①知△=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）＞0，
∴k2＜
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
而S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3|k| |
| 2 |
| (x1+x2)2-x1x2 |
=
| 3|k| |
| 2(k2+3) |
| 36-96k2 |
|
令k2=t，则t∈(0，
| 3 |
| 8 |
|
| 9t-24t2 |
| (t+3)2 |
| 3 |
| 8 |
求导后可得当t=
| 3 |
| 17 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查了向量在几何中的应用，是直线与圆锥曲线的综合题，训练了“设而不求”的解题思想方法，训练了换元法，考查了导数在求最值中的作用，该题涉及条件多，解答的关键是找准入手点，是有一定难度题目．
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