Question

已知双曲线x²-=1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.

Answer 1

思路分析：(1)针对直线与圆锥曲线的位置关系，若给出线段的中点,通常用韦达定理的知识求解.(2)证明“不存在”的问题通常用反证法，假设这样的点存在，求解过程推出矛盾.

(1)解:设过点P(1,2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1),

代入双曲线方程并整理得(2-k²)x²+(2k²-4k)x-(k²-4k+6)=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有x₁+x₂=.

由已知=1,

∴=2.解得k=1.

又k=1时,Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16＞0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.

(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),

代入双曲线方程并整理,得(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0.

由题知=2,解得k=2.

而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-8＜0.

∴这样的直线不存在.