Question

6．已知焦点在x轴上的椭圆C为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q的坐标为（1，0），椭圆上是否存在一点P，使得直线PF₁，PF₂都与以Q为圆心的一个圆相切？若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦点在x轴上，a=2$\sqrt{2}$，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：c=2．则b²=a²-c²=4即可求得椭圆C的方程；
（2）假设存在满足条件的点P，设出其坐标，根据两点式写出直线PF₁，PF₂的方程，根据圆的切线满足圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出有关点P的坐标的方程，再利用点P的坐标满足椭圆的方程，解方程组求得点P的坐标．

解答 解：（1）由题可知：椭圆C为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1焦点在x轴上，a=2$\sqrt{2}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：c=2．
∴b²=a²-c²=4．
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（2）假设椭圆上存在一点P（x₀，y₀），
使得直线PF₁，PF₂都与以Q为圆心的一个圆相切，则Q到直线PF₁，PF₂的距离相等．
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴直线PF₁的方程为（x₀+2）y-y₀x-2y₀=0，
直线PF₂的方程为（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0．…（6分）
∴d₁=$\frac{丨{y}_{0}丨}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{丨3{y}_{0}丨}{\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=d₂，
化简整理得：8x₀²-40x₀+32+8y₀²=0．…（9分）
∵点在椭圆上，
∴x₀²+2y₀²=8
由以上两式解得：x₀=2或x₀=8（舍去），
∴y₀=$\sqrt{2}$或y₀=-$\sqrt{2}$，此时相切的圆的半径r=1．…（11分）
∴椭圆上存在点P，其坐标为（2，$\sqrt{2}$）或（2，-$\sqrt{2}$），
使得直线PF₁，PF₂都与以Q为圆心的圆（x-1）²+y²=1相切．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．