Question

如图所示，中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P （6，6），动直线l经过点（0，1）与双曲线C交于M、N两点，Q为线段MN的中点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若E点为（1，0），是否存在实数λ使=λ，若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线的离心率为知，，根据双曲线C经过点P （6，6），知P点坐标满足双曲线方程，代入，又得到一个含a，b的等式，再根据a，b，c的关系式，可解出a，b，求出双曲线C的标准方程．
（2）先假设存在实数λ使=λ，设出M，N，点的坐标，再用M，N点坐标表示Q点坐标，设直线l的方程，把直线l的方程代入（1）中所求双曲线方程，求x₁+x₂，x₁x₂，根据=λ，可得关于k的方程，解方程，若能求出k值，则存在，若不能求出，则不存在．
解答：解：（1）设双曲线为：（a＞0，b＞0），
由=得：b²=a²，∵．∴a²=9，b²=12．
∴所求方程为．
（2）设M（x₁，y₁ ），N（x₂，y₂ ），Q（x，y ），l：y=kx+1．
由得：（4-3k²）x²-6kx-39=0．∴得：
-＜k＜，且k≠．
又x₁+x₂=，x==，y=kx+1=
∴Q（，）．∴=（-1，），=（3，6）．
而，∴6（-1）-3×=0．∴k²+k-2=0，
∴k=1或-2．
而-2∉（-，），∴k=1，=（2，4），∴3λ=2，λ=，
∴λ存在，值为，使．
点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及向量与圆锥曲线的综合来解存在性问题．