Question

如图所示，中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为

21

3

的双曲线C经过点P （6，6），动直线l经过点（0，1）与双曲线C交于M、N两点，Q为线段MN的中点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若E点为（1，0），是否存在实数λ使

EQ

=λ

A2P

，若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的离心率为

21

3

知，

c

a

= 

21

3

，根据双曲线C经过点P （6，6），知P点坐标满足双曲线方程，代入，又得到一个含a，b的等式，再根据a，b，c的关系式，可解出a，b，求出双曲线C的标准方程．
（2）先假设存在实数λ使

EQ

=λ

A2P

，设出M，N，点的坐标，再用M，N点坐标表示Q点坐标，设直线l的方程，把直线l的方程代入（1）中所求双曲线方程，求x₁+x₂，x₁x₂，根据

EQ

=λ

A2P

，可得关于k的方程，解方程，若能求出k值，则存在，若不能求出，则不存在．

解答：解：（1）设双曲线为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由

c

a

=

21

3

得：b²=

4

3

a²，∵

36

a2

-

3×36

4a2

=1．∴a²=9，b²=12．
∴所求方程为

x2

9

-

y2

12

=1．
（2）设M（x₁，y₁ ），N（x₂，y₂ ），Q（x₀，y₀ ），l：y=kx+1．
由

y=kx+1

得：（4-3k²）x²-6kx-39=0．∴

4-3k2≠0 △＞0

得：
-

13

3

＜k＜

13

3

，且k≠±

2 3

3

．
又x₁+x₂=

6k

4-3k2

，x₀=

x1+x2

2

=

3k

4-3k2

，y₀=kx₀+1=

4

4-3k2

∴Q（

3k

4-3k2

，

4

4-3k2

）．∴

EQ

=（

3k

4-3k2

-1，

4

4-3k2

），

A2P

=（3，6）．
而

EQ

=λ

A2P

，∴6（

3k

4-3k2

-1）-3×

4

4-3k2

=0．∴k²+k-2=0，
∴k=1或-2．
而-2∉（-

13

3

，

13

3

），∴k=1，

EQ

=（2，4），∴3λ=2，λ=

2

3

，
∴λ存在，值为

2

3

，使

EQ

=λ

A2P

．

点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及向量与圆锥曲线的综合来解存在性问题．