Question

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别　是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是

1. A.
   2³⁷
2. B.
   2³⁶+2012
3. C.
   2³⁶
4. D.
   2³²

Answer 1

A
分析：设第k行的第一个数为a_k，则a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a₃=12=2a₂+2²，a₄=32=2a₃+2³，…归纳，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17个数．
解答：设第k行的第一个数为a_k，
则a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上归纳，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴=+，即-=，
∴数列{}是以=为首项，以为公差的等差数列，
∴=+（n-1）×=，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：2，2²，…，2^k，…
第n行的首项为a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差为2ⁿ，
∴第32行的首项为a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差为2³²，
∴第32行的第17个数是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故选A．
点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，合理地总结规律，注意归纳法和构造法的合理运用．