Question

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的n个数分别是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是

2³⁷

．

Answer 1

分析：设第k行的第一个数为a_k，则a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，…，归纳，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17个数．

解答：解：设第k行的第一个数为a_k，
则a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a3=12=2a2+22，
a4=32=2a3+23，
…
由以上归纳，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴

ak

2k

=

a k-1

2k-1

+

1

2

，即

ak

2k

-

ak-1

2k-1

=

1

2

，
∴数列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：2，2²，…，2^k，…
第n行的首项为a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差为2ⁿ，
∴第32行的首项为a32=32•231=2³⁶，公差为2³²，
∴第32行的第17个数是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故答案为：2³⁷．

点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，合理地总结规律，注意归纳法和构造法的合理运用．