Question

已知函数．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；
（3）由（2）知（4），利用指数函数2^x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则=，
∵x₁＜x₂，∴，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即，
解得：．∴．
（3）由（2）知（4），∵2^x+1＞1（5），∴（6），∴，∴
所以f（x）的值域为．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．