Question

数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，若点P_n（3a_n+1，2a_n）在经过点（3，0）和（0，-2）的直线上，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列a_n的前n项和为S_n，求数列{

1

S2n+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）易求直线方程，代入点P_n坐标，可得递推式，可判断{a_n}为等差数列，从而可求得a_n；
（2）由（1）可求S_n，进而可求S_2n+1，利用裂项相消法可求得T_n．

解答：解：（1）直线l的方程为：2x-3y-6=0，
∵6a_n+1-6a_n-6=0，即a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以

3

2

为首项，公差为1的等差数列，
∴an=n+

1

2

；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+2)

2

，
∴S2n+1=

(2n+1)(2n+3)

2

，
∴

1

S2n+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

，
∴Tn=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

3(2n+3)

；

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及裂项相消法对数列求和，属中档题．