Question

20．在等比数列{a_n}中，a₁，a₉是方程x²+9x+16=0的两根，若曲线$y=\frac{x^2}{2}-2lnx+1$在点P处的切线的斜率为$k=\frac{1}{4}{a_5}$，则切点P的横坐标x_P=1．

Answer 1

分析 由等比数列的性质和韦达定理可得a₅=-4，再由导数和切线的关系可得x_p的方程，解方程可得．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a₁，a₉是方程x²+9x+16=0的两根，
∴a₁+a₉=-9，a₁a₉=16，∴a₁，a₉为负数，
由等比数列的性质可得a₅=-$\sqrt{{a}_{1}{a}_{9}}$=-4，
又∵曲线$y=\frac{x^2}{2}-2lnx+1$在点P处的切线的斜率为$k=\frac{1}{4}{a_5}$，
求导数可得y′=x-$\frac{2}{x}$，∴x_p-$\frac{2}{{x}_{p}}$=-1，
解得x_P=1，或x=-2，由lnx有意义可得x_P=1
故答案为：1

点评 本题考查等比数列的通项公式和导数与切线的关系，属基础题．