Question

已知曲线C：4x²－y|y|＝1

(Ⅰ)若直线l：y＝2x＋m与曲线C只有一个公共点，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋1与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·＜(其中O为坐标原点)，求实数k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)曲线为双曲线的上半部分(含与x轴交点)和椭圆的下半部分构成，图象如图所示，　2分 　　双曲线渐近线为y＝±2，直线y＝2x＋m与双曲线的一条渐进线平行， 　　联立时，直线与完整的双曲线只能有一个交点； 　　联立时直线与椭圆下半部分相切；　4分 　　综上可得： 　　 　　所以实数m的取值范围为m＝－或m≥0　6分 　　(Ⅱ)直线l：y＝kx＋1与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点　8分 　　联立l：y＝kx＋1与4x2－y2＝1可得：(4－k2)x2－2kx－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　由题可得－2＜k＜2，　10分 　　又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1， 　　由·＜可得x1x2＋y1y2＜，解得k2＞1， 　　所以－2＜k＜－1或1＜k＜2　12分