Question

已知曲线C:4x²-y|y|=1.

(1)若直线l:y=2x+m与曲线C只有一个公共点,求实数m的取值范围;

(2)若直线l:y=kx+1与曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·＜(其中O为原点),求实数k的取值范围.

Answer 1

解:(1)曲线为双曲线4x²-y²=1的上半部分(含与x轴交点)和椭圆4x²+y²=1的下半部分构成,图象如图所示,

双曲线渐近线为y=±2x,直线y=2x+m与双曲线的一条渐近线平行,

联立得4mx+m²+1=0,可得m≠0时,直线与完整的双曲线只能有一个交点;

联立得8x²+4mx+m²-1=0,由Δ=0,解得m=-2时直线与椭圆下半部分相切;

综上可得:

当m≥1时,直线与双曲线有一个交点;

当0≤m＜1时,直线只与椭圆有一个交点;

当-1＜m＜0时,直线与双曲线和椭圆各有一个交点;

当-＜m≤-1时,直线与椭圆有两个交点;

当m=-时,直线只与椭圆有一个交点;

所以实数m的取值范围为m=-或m≥0.

(2)直线l:y=kx+1与曲线C恒有两个不同的交点A和B,由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点,

联立l:y=kx+1与4x²-y²=1,可得(4-k²)x²-2kx-2=0,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由题可得-2＜k＜2,

又y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=1,

由·＜,可得x₁x₂+y₁y₂＜,解得k²＞1,

所以-2＜k＜-1或1＜k＜2.