Question

设f(x)＝a^x＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)的定义域为[1，4]，且在定义域内g(x)＝f(x)－1，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，求h(x)；

(3)求函数y＝g(x)＋h(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)由f(0)＝1得b＝1，1分 　　由f(x＋1)＝2f(x)－1得ax(a－2)＝0　3分 　　由于ax＞0得a＝2，所以f(x)＝2x＋1　4分 　　(2)由题意知x∈[1，4]时g(x)＝f(x)－1＝2x，5分 　　由于函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称， 　　所以h(x)＝log2x(x∈[2，16])　8分 　　(3)由已知可得y＝2x＋log2x，且两个函数的公共定义域是[2，4]， 　　所以函数y＝2x＋log2x(x∈[2，4])　10分 　　由于函数g(x)，h(x)在区间[2，4]上均为单调递增　11分 　　因此当x＝2时，y＝5，当x＝4时，y＝18　13分 　　所以函数y＝g(x)＋h(x)的值域为[5，18]　14分