题目内容

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $数学公式$ =- $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b= $数学公式$ ，a+c=4，求△ABC的面积．

解：（1）△ABC中，由余弦定理得：a²+c²-b²=2accosB，a²+b²-c²=2abcosC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（3分）
∴由题设得： $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴cosB=- $\text{[math]}$ ，故 B= $\text{[math]}$ π．…（6分）
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴b²=（a+c）²-2ac-2accos $\text{[math]}$ π=（a+c）²-ac
∴13=16-ac，∴ac=3，
∴S= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）△ABC中，由余弦定理得：a²+c²-b²=2accosB，a²+b²-c²=2abcosC，由题设得： $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，求得 cosB=- $\text{[math]}$ ，故 B= $\text{[math]}$ π．
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，由此求得ac=3，代入三角形面积公式 S= $\text{[math]}$ acsinB，运算求得结果．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式以及根据三角函数的值求角，属于中档题．