Question

已知函数，设，

．  

（1）猜测并直接写出的表达式;此时若设，且关于的函数在区间上的最小值为，则求的值;

（2）设数列为等比数列，数列满足，，若 ，，其中,则

①当时，求；

②设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

①②

【解析】(I)先分别求出从而归纳出,所以.这样可得到.

然后再讨论二次函数的对称轴与-1的大小关系即可.

（2）在（1）的基础上，可得,所以数列的公比为,当m=1时，,所以,

所以,然后两式作差整理可得，问题到此基本得以解决.

解：（1）∵，

∴  ．…1分

∴．………………2分

∴．

∴．…………4分

ⅰ）当，即时，函数在区间上是减函数，

∴当时，，即，该方程没有整数解．…5分

ⅱ）当，即时，，解得，综上所述，．…6分;

（2）①由已知，所以；，所以，解得； 所以数列的公比； ．．．．7分当时，， ,即  …①   ，………②，  

 ②－①得，，．．．．8分

 ．．．．．9分

②      ．．．．．10分

因为，所以由得，．．．．11分

注意到，当n为奇数时，； 

当为偶数时，，

所以最大值为，最小值为．．．．．13分

对于任意的正整数n都有，

所以，解得 ．．．14分