Question

已知直线l：（k-1）x+（2k+1）y=2k+1和圆C：（x-1）²+（y-2）²=16．
（Ⅰ）求证：无论k取何值，直线l与圆C都相交；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长的最小值和弦长取得最小值时实数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线l解析式变形后，得到恒过（0，1），求出此点到圆心的距离d小于r，即此点在圆内，即可得到无论k取何值，直线l与圆C都相交；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，圆心C（1，2）到直线l的距离为d，圆C半径为r，则d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，当r=4时，只需d最大即可，求出d的最大值，确定出|AB|的最小值，以及此时k的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l变形得：（x+2y-2）k=x-y+1，
由

x+2y-2=0 x-y+1=0

，解得：

x=0 y=1

，
∴直线l恒过定点M（0，1），
∵（0-1）²+（1-2）²=2＜16，
∴（0，1）在圆C内部，
则无论k取何值，直线l与圆C都相交；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，圆心C（1，2）到直线l的距离为d，圆C半径为r，
则d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，当r=4时，只需d最大即可，
∵d≤|CM|，∴当d=|CM|=

2

时，|AB|最小，
此时2+（

1

2

|AB|）²=16，即|AB|_min=2

14

，
当弦长|AB|_min=2

14

时，直线AB⊥CM，
∵直线CM斜率为1，∴此时直线l斜率k=-1．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，弄清题意是解本题的关键．