Question

12．设A={（x，y）|y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，B={（x，y）|y=k（x-2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 集合A表示圆心为（0，1），半径为2的上半圆；集合B表示恒过（2，4）的直线，要使两集合交集有两个元素，得到两函数图象有两个交点，根据图形确定出k的范围即可．

解答 解：集合A中y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
变形得：x²+（y-1）²=4（y≥1），
表示圆心为（0，1），半径为2的上半圆；
集合B中y=k（x-2）+4=kx-2k+4，表示恒过（2，4）的直线，
由A∩B中含有两个元素，得到两函数图象有两个交点，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{5}{12}$，
当直线过点B（-2，1）时，把B坐标代入直线方程得：1=-2k-2k+4，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
则实数k的取值范围为（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案为：（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]

点评 此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，画出正确的图形是解本题的关键．