Question

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？

Answer 1

分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．
（2）由（1）的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．

解答：解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），故其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=(

1

2

)t-a，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(

1

2

)1-a，解得a=3
故函数的解析式为y=(

1

2

)t-3，t≥1．
所以y=f(t)=

4t (0≤t＜1) ( 1 2 )t-3 (t≥1)

．
（2）由题意，令f（t）≥0.25，即

4t≥0.25 ( 1 2 )t-3≥0.25

，
解得

t≥ 1 16 t≤5

，
∴

1

16

≤t≤5．
∴服药一次治疗疾病有效的时间为5-

1

16

=4

15

16

个小时．

点评：已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．