Question

某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？

Answer 1

分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．
（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．

解答：解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，
其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=(

1

2

)t-a，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(

1

2

)1-a，解得a=3；
（2）由（1）知，f(t)=

4t，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3，t＞1

；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即

4t≥0.5，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3≥0.5，t＞1

∴

1

8

≤t≤4．
答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f(t)=

4t，0≤t≤1 ( 1 2 )t-3，t＞1

；（3）服药一次治疗有效的时间范围为

1

8

≤t≤4．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．