Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

(1)求点B到平面PCD的距离；

(2)求二面角C－AE－D的余弦值．

Answer 1

解：(1)如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，

则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0，0,2)，

则P＝(4,0，－2)，C＝(0，－2,0)，B＝(4,0,0)．

设平面PCD的一个法向量为

n＝(x，y,1)，则⇒⇒.

所以平面PCD的一个单位法向量为：

＝(，0，)，

所以＝|(4,0,0)·(，0，)|＝，

则点B到平面PCD的距离为.

(2)由(1)可得E(2,0,1)，易知平面ADE的一个法向量为n₁＝(0,1,0)．

设平面ACE的一个法向量为n₂＝(x′，y′，1)，

又A＝(2,0,1)，A＝(4,2,0)，

则⇒⇒，

所以平面ACE的一个法向量为n₂＝(－，1,1)．

设二面角C－AE－D的大小为θ，

则cos θ＝＝＝.

结合图形可知二面角C－AE－D的余弦值为.