Question

如图，是抛物线上上的一点，动弦分别交轴于两点，且．
（１）  若为定点，证明：直线的斜率为定值；
（２）  若为动点，且，求的重心的轨迹方程．

Answer 1

(1)证明见答案   (2)

（１）设，直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为．
由消得．
解得，．
同理可得，．
（定值）．
所以直线的斜率为定值．
（２）当时，，所以，
直线的方程为：，
由得，同理可得．
设得心，
则有
消去参数得．