Question

13．在区间[1，5]上，f（x）=x²-mx+4的图象恒在y=x的图象上方，则m的取值范围是（-∞，3）．

Answer 1

分析 由题意可得x²-mx+4＞x在[1，5]恒成立，即m+1＜x+$\frac{4}{x}$的最小值，运用基本不等式求得最小值，即可得到m的范围．

解答 解：区间[1，5]上，f（x）=x²-mx+4的图象恒在y=x的图象上方，
即为x²-mx+4＞x在[1，5]恒成立，
即m+1＜x+$\frac{4}{x}$的最小值，
构造函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，由基本不等式可得x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
当且仅当x=2∈[1，5]，取得最小值，且为4，
则m+1＜4，解得m＜3．
故答案为：（-∞，3）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．