Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂＝60°．

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证：△F₁PF₂的面积只与椭圆短轴长有关．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)设椭圆方程＝1(a＞b＞0) 　　由余弦定理得 　　cos60°＝ 　　＝ 　　|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2∴3|PF1|·|PF2|＝4b2∴|PF1|·|PF2|＝， 　　又∵|PF1|·|PF2|≤()2＝a2 　　∴3a2≥4(a2－c2) 　　∴≥∴e≥ 　　又∵椭圆中0＜e＜1∴1＞e≥． 　　(2)由(1)知|PF1|·|PF2|＝ 　　＝|PF1|·|PF2|sin60°＝·× 　　∴△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．