Question

直线x=2与双曲线C：x²-4y²=8的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上的任意一点，若

OP

=a

OA

+b

OB

（a，b∈R，O为坐标原点），则a+b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1]∪[1，+∞）
• B、（-∞，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，-

  2

  ]∪[

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，-

  2

  2

  ]∪[

  2

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定A，B的坐标，根据

OP

=a

OA

+b

OB

，确定坐标之间的关系，可得ab=

1

2

，利用基本不等式，可求a+b的取值范围．

解答： 解：由题意，A（2，1），B（2，-1），
设P（x，y），则
∵

OP

=a

OA

+b

OB

，
∴x=2a+2b，y=a-b
∵P为双曲线C上的任意一点，
∴ab=

1

2

，
∴|a+b|≥2

ab

=

2

，
∴a+b≤-

2

或a+b≥

2

．
故选C．

点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线的性质，属于基础题．