Question

（21）

设α为实数，函数f(x)=x³-x²-x+a.

（Ⅰ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。

Answer 1

（21）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：（Ⅰ）f’(x)=3x²-2x-1

若f’(x)=0，则x=-,1.

当x变化时，f’(x), f(x)变化情况如下表：

 

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

 

所以f(x)的极大值是f（-）=+a，极小值是f(1)=a-1.

（Ⅱ）函数f(x)=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1

由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0，所以由线y=f(x)与x轴至少有一个交点。

结合f(x)的单调性可知：

当f(x)的极大值+a<0，即a∈(-∞,-)时，它的极小值也小于0，因此曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点，它在（1,+∞）上；

当f(x)的极小值a-1>0，即a∈(1,+∞）时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在（-∞,-）上。

所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点.