Question

【题目】已知函数，.

（1）求 函数的单调区间；

（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在两个不同的不动点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ；（2）.

【解析】

（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论的取值，得到函数的单调区间；

（2）依题意可得，存在两个不动点，所以方程有两个实数根，即有两个解， 令，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；

解：（1）的定义域为，

对于函数，

①当时，在恒成立.

在恒成立.

在为增函数；

② 当时，由，得；

由，得；

在为增函数，在减函数.

综上，当时，的单调递增区间为

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

（2），

存在两个不动点，方程有两个实数根，即有两个解，

令，，

令，得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

，

设,则,,即时,

将两边取指数,则

当时,

当时 ,

当时，有两个不同的不动点