题目内容

将数列{a_n}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；

a1 a2 a3

a4 a5 a6 a7

a8 a9 a10 a11 a12

…

③a66=

2

5

．请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

，

1

20

]上有解，求正整数k的取值范围．

（Ⅰ）由（n+1）b_n+1-nb_n=0，得数列{nb_n}为常数列．故nb_n=1•b₁=1，所以bn=

1

n

．　　　
（Ⅱ）∵3+4+…+11=63，
∴表中第一行至第九行共含有{a_n}的前63项，a₆₆在表中第十行第三列．　　　
故a₆₆=b₁₀•q²，而b10=

1

10

，∴q=2．　　　　　　　　　　　　　　　　
故S(k)=

bk( 1-qk+2)

1-q

=

1

k

( 2k+2-1 )．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅲ）f(x)=

1-x2

x

=

1

x

-x在x∈[

1

200

，

1

20

]上单调递减，
故f（x）的最小值是f(

1

20

)=20-

1

20

．
若关于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

，

1

20

]上有解，
设m(k)=S(k)+

1

k

=

1

k

•2k+2，则必须m(k)＞20-

1

20

．　　　　　　　　　　　　
∵m(k+1)-m(k)=

1

k+1

•2k+3-

1

k

•2k+2=

2k+2( k-1 )

k ( k+1 )

≥0（或

m(k+1)

m(k)

=

2k

k+1

≥1）
∴m（1）=m（2）=8，函数m（k）当k≥2且k∈N^*时单调递增．　　　　　　　　　　　　
而m（4）=16，m(5)=

128

5

＞20-

1

20

，所以k的取值范围是大于4的一切正整数．

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=1(n≥2)．
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}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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时，公比q的值．

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（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
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（1）证明数列{

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证数列 $数学公式$ 成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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